[선형대수] A의 역행렬이 존재하지 않을 때, AB와 BA의 역행렬이 존재하지 않음을 보이시오.

"If A is singular matrix, AB and BA are also singular."

위 명제 때문에 한참을 고민했다.. 그러나 결국 나온 증명은 좀 허무한 듯 싶다. 물론 확실히 맞는지는 모르겠지만,,

고등학교 때 행렬 진위형 그렇게 많이 풀었었는데, 제대로 증명을 기억해서 풀 지는 않았던 것 같다. 물론 그 때는 선형 대수 개념도 몰랐을 때니깐...

 

쨋든 본론으로 들어가자면, 

A가 비가역적, 즉 역행렬이 존재하지 않다는 것은, A의 rank가 n보다 작다는 걸 의미하고, 이는 A의 열벡터 중 선형 종속인 벡터가 존재한다는 것이며 이는 Ax = 0를 만족하는 0벡터가 아닌 벡터 x가 존재한다는 걸 의미한다. 

 

여기서 우선 위 식, Ax = 0의 양 변에 n x n 행렬 B를 곱해보자. (여기서 A는 n x n, x는 n x 1, b는 n x 1의 크기를 갖는다. 또 x는 0벡터가 아니다. )

 

그러면 BAx = 0꼴이 나올 것이다. 이때, 이 식을 (BA)x = 0로 본다면, 행렬 BA는 0벡터가 아닌 벡터 x를 해로 취할 수 있게되고 이는 선형 독립의 정의에 의해 BA는 선형 종속이라 할 수 있다. 따라서 BA도 역행렬을 갖지 못한다. 

 

AB의 경우는 유튜브 영상을 참고했다. 이 문제에 관해 찾다가 발견했는데 선형대수에 대해 혹은 그 이외 수학관련 내용에 대해 정리가 잘 돼 있는 것 같다. 3b1b(?)와 같이 추천하는 유튜브이다.(물론 영어가 좀 필요하다 ㅎㅎ)

 

AB 경우는 선형 변환(linear transformation), 혹은 선형 사상(linear mapping) 관점에서 해결하도록 하겠다. 행렬 A에 행렬 B라는 선형 변환을 적용해 다른 행렬 X를 만든 다고 생각해 보자. 함수적 관점에서 보았을 때, A의 원소(벡터)가 X의 원소(벡터)로 사상될 때, 1:many의 관계를 맺을 수 없다. 이는 함수의 정의에 위배되기 때문이다. 함수의 정의에 따라 X의 원소 중 하나에 사상되어야 한다. 

위와 같은 모양은 함수의 정의에 위배되기에 불가능한 모형이다.

 

따라서 행렬 A에 대한 선형 변환 B가 적용된 결과인 행렬 X의 벡터들로 span할 수 있는 벡터 공간은 행렬 A가 span할 수 있는 공간보다 클 수 없다. 즉, 행렬 A의 원소(벡터)는 행렬 X의 벡터의 개수와 같거나 혹은 더 적은 수 만큼의 벡터로 사상(mapping)된다. 

이를 rank의 관점에서 보면, A는 singular matrix라 했으므로 rank A < n이다. X(=AB)는 A보다 더 큰 rank를 가질 수 없다. 왜냐면 A보다 더 큰 개수의 벡터 set을 가질 수 없기 때문이다. 따라서 rank X <= rank A < n 이므로, 행렬 X역시 역행렬을 가질 수 없는 singular matrix이다. X=AB이기에 AB역시 singular matrix이다. 

 

지적은 언제나 환영입니닷!