[선형대수] 열 랭크(column rank)와 행 랭크(row rank)

선형 대수를 공부하던 중에 이 명제가 쉽게 와닿지 않았다. 

 

"열 랭크와 행 랭크는 항상 같다."

 

뭔가 해보면 그런거 같기는 한데, 정확히 왜 그런걸까? 그럴 수밖에 없는 이유가 뭘까?

 

우선 랭크(rank)에 대해 알아보자. 

 

선형 독립(linearly independent)의 개념과 연관지어서 설명하자면, mxn행렬 A의 열벡터 중 선형 독립인 최대 벡터들의 개수이다. -wikipedia, rank

 

필자는 선형 독립을 배우기 전에 rank의 개념을 배웠기에 행렬에 소거법을 적용하고 그 결과 남게되는 사다리꼴 행렬(row echelon form)에서 0이 아닌 행의 개수가 곧 A의 rank라고 배웠다. 물론 이 소거법(가우스, 혹은 가우스-조던 소거법)자체가 선형 종속인 행 벡터들을 제거하는 거라 결국은 선형 독립인 행의 최대 개수를 구하는 식이라 볼 수 있겠고, 또 선형 독립을 이용한 정의와 연관지어 보면, 결국 열 랭크와 행 랭크가 같을 수밖에 없다 라고 결정지을 수 있다.

 

이는 소거법 과정을 통해 결과로 나오는 (행) 사다리꼴 행렬을 보아도 알 수 있다. 

 

행 사다리꼴 행렬(row echelon form matrix)에 대해 잠깐 언급하자면,

 

행렬 A에 대해 가우스 소거법을 통해 얻는 행렬을 행 사다리꼴 행렬이라고 하고, 가우스-조던 소거법을 통해 얻는 행렬을 기약 행 사다리꼴이라고 하며, 기약 행 사다리꼴은 행렬 A에서 단 하나의 종류만 얻을 수 있으며, 가우스 소거법은 여러 종류의 행 사다리꼴을 얻을 수 있다. (알고리즘 설계 자체가 그렇다.. 행사다리꼴, 기약 행 사다리꼴을 얻기 위한 알고리즘을 거친다)

행렬 A와 A에 소거법을 적용해 생성된 행 사다리꼴 행렬 R은 여러 성질을 공유한다. 행 또는 열 사이의 선형 독립 여부, Ax = b 꼴에서의 해가 되는 x의 존재 여부(즉 해의 존재여부), rank 값 등..

또한 열 사다리꼴 행렬도 존재하며, 소거법 과정이 일반적으로 행 끼리의 연산이고 행 사다리꼴을 얻는 것을 목표로 한다. 행 사다리꼴 행렬을 전치시키면 같은 성질을 갖는 열 사다리꼴 행렬을 얻을 수 있다고 한다. 

 

행 사다리꼴 행렬

위의 행렬은 가우스 소거법의 결과로 만들어진 행 사다리꼴 행렬이다. rank의 정의에 의해 0이 아닌 행을 제외한 행의 개수는 3이므로 3이 곧 이 행의 rank이다. 

 

선형 독립을 이용한 정의를 고려해 본다면, A의 열벡터를 각각 $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$라고한다면, $v_1$, $v_2$, $v_3$는 $R^3$를 span할 수 있고, 따라서 $v_4$ 역시 $R^3$의 vector 중 하나이므로 선형 독립의 정의에 의해 $v_1$, $v_2$, $v_3$의 선형 조합으로 $v_4$를 구할 수 있으니 $v_4$는 나머지 열벡터들과 선형 종속의 관계에 볼 수 있다. 결국 선형 독립인 최대 열 벡터 수는 3개이므로 열 rank 역시 3이라 볼 수 있다. 이렇게 열 벡터와 행 벡터가 같음을 알 수 있었다. 

 

더해서 열 벡터와 행 벡터가 같음을 안다면 A와 $A^T$의 rank 역시 같음을 알 수 있다. 왜냐면 두 행렬 간의 관계는 열과 행이 서로 뒤바뀐 형태이기에 열과 행이 교체되었다고 해도 rank에는 변함이 없기 때문이다. (열과 행 rank가 같으니깐)

 

필자의 이해가 담긴 글이라 틀린 점이 있다면 지적 바랍니다ㅎㅎ